Riassunto

Nel presente lavoro si danno dei criteri di esistenza e unicità, sotto la condizione di valori prefissati al contorno, per equazioni integro-differenziali. Tali criteri vengono stabiliti mediante l'impiego di due noti teoremi, dovuti aCaccioppoli e aHildebrant-Graves, relativi agli elementi uniti nelle transformazioni funzionali.

Riassunto

Mediante l'introduzione nel campo delle equazioni alle derivate parziali di un procedimento approssimante diL. Tonelli, già largamente impiegato nella risoluzione di problemi ai limiti relativi alle equazioni differenziali ordinarie, si risolve il problema diDarboux per l'equazionez_xy=f(x, y, z, z_x,z_y) nel campo delle funzioniz(x, y) lipschitziane.

Si suppongono i dati al contorno anch'essi lipschitziani e si mantengono sullaf(x, y, z, p, q) le stesse ipotesi nella qualiPh. Hartman edA. Wintner hanno, con metodo diverso, risolto il problema nel campo dellez(x, y) con derivate prime continue, in corrispondenza a dati al contorno pure con derivate prime continue.

Riassunto

Nella prima parte di questo lavoro si transporta ai sistemi di equazioni differenziali un criterio cheCafiero ha dato per una sola equazione differenziale. Nella seconda parte si dimostrano altri criteri d'unicità che estendono teoremi dati sullo stesso argomento daZwirner.

Riassunto

In questa Nota si dà un criterio di esistenza per il problema $$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {y\left( {IV} \right)\left( x \right) = f\left( {x, y\left( x \right), y'\left( x \right), y''\left( x \right), y'''\left( x \right)} \right)} \\ {y\left( {x_1 } \right) = y_1 , y\left( {x_2 } \right) = y_2 , y\left( {x_3 } \right) = y_3 , y\left( {x_4 } \right) = y_4 , y\left( {x_5 } \right) = y_5 } \\ \end{array} } \right.$$ nelle incognite [λ,yx)].

Riassunto

Del teorema diBirkhoff, Kellogg, Schauder, Caccioppoli sull'esistenza di elementi uniti di trasformazioni funzionali, si dà un'estensione che non richiede la compattezza dell'insieme trasformato.

Si applica il risultato allo studio di un problema ai limiti relativo all'equazione: $$\begin{gathered} \frac{{\partial ^{n + m} z}}{{\partial x^n \partial y^m }} = f\left( {x, y, z,..., \frac{{\partial ^{v + \mu } z}}{{\partial x^v \partial y^\mu }},...,\frac{{\partial ^{n + \mu } z}}{{\partial x^n \partial y^\mu }},...,\frac{{\partial ^{v + m} z}}{{\partial x^v \partial y^m }},...} \right), \hfill \\ \left( {v = 0, 1, ..., n - 1; \mu = 0, 1, ..., m - 1} \right), \hfill \\ \end{gathered} $$ per il quale vengono stabiliti dei criteri d'esistenzain grande che estendono i risultati precedentemente raggiunti da altri Autori.

Riassunto

Si prova che una soluzione dell'equazione parabolica $$\sum\limits_1^n {k\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x_k ^2 }}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + cu = 0$$ che si annulla puntualmente o in media sulla frontiera di un dominio tipico ad eccezione dei punti di una o più varietà regolari senza bordo, purchè in essi si comporti in un certo modo, è identicamente nulla.